Какова площадь полной поверхности пирамиды со стороной ab, равной 5 корень из 3, и углом acb, равным 150°?
Пошаговый ответ:
Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и боковых граней.
1. Найдем площадь основания пирамиды. Основание пирамиды представляет собой правильный треугольник со стороной ab, равной 5√3. Формула для нахождения площади правильного треугольника: S = (√3 * a^2) / 4, где a — длина стороны треугольника. Подставим значение а: S = (√3 * (5√3)^2) / 4 = (√3 * 75) / 4 = 75√3 / 4.
2. Найдем площадь боковых граней пирамиды. Боковые грани пирамиды представляют собой равнобедренные треугольники, у которых одна сторона равна ab, а угол между этой стороной и основанием равен 150°. Для решения задачи нужно построить перпендикуляр из вершины пирамиды на основание, чтобы разбить равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника.
— Найдем высоту равнобедренного треугольника. Высота равнобедренного треугольника будет являться перпендикуляром, опущенным из вершины на основание. Так как угол между ab и этой высотой равен 150°, то другой угол будет равен 30° (углы треугольника в сумме дают 180°). Также, так как треугольник равнобедренный, его основание будет делиться высотой на две равные части. Обозначим эту равную часть h. Зная угол и прилежащую сторону, можем использовать тригонометрию для нахождения высоты:
tg(30°) = h / (ab/2)
tg(30°) = h / (5√3/2)
√3/3 = h / (5√3/2)
h = (5√3/2) * (√3/3)
сокращаем: h = 5/2.
— Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с катетами ab и h и прямым углом между ними. Можем воспользоваться формулой для площади прямоугольного треугольника: S = (a * h) / 2. Подставляем значения: S = (5√3 * 5/2) / 2 = (25√3 / 2) / 2 = 25√3 / 4.
3. Найдем площадь боковых граней пирамиды. В пирамиде 4 боковых грани, поэтому площадь всех боковых граней равна Sбок = 4 * S. Подставим значение S: Sбок = 4 * (25√3 / 4) = 25√3.
4. Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковых граней: Sполная = Sосн + Sбок. Подставим значения: Sполная = 75√3 / 4 + 25√3 = (3 * 25√3 + 25√3) / 4 = 4 * 25√3 / 4 = 25√3.
Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна 25√3.