а) Найдите уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой y0=1.
б) Найдите уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой y0=-3.
Пошаговый ответ:
1. Определить производную функции y=2x²-3 . Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности:
y’ = (d/dx) (2x²) — (d/dx)(3)
2. Возьмем производную от каждого слагаемого. Производная от 2x² равна 4x, а производная от константы -3 равна 0. Таким образом:
y’ = 4x + 0
y’ = 4x
3. Подставим значение y=1 в производную y’ и решим уравнение для нахождения значения x. Получим:
1 = 4x
x = 1/4
4. Подставим найденное значение x=1/4 обратно в функцию y=2x²-3, чтобы найти соответствующее значение y:
y = 2*(1/4)² — 3
y = 2*(1/16) — 3
y = 1/8 — 3
y = 1/8 — 24/8
y = -23/8
Таким образом, координаты точки пересечения касательной с графиком функции y=2x²-3 равны (1/4, -23/8).
5. Чтобы найти уравнение касательной, нужно использовать найденные координаты точки пересечения и значение производной в этой точке. Уравнение касательной имеет вид y — y₁ = k(x — x₁), где (x₁, y₁) — координаты точки пересечения, а k — значение производной в точке пересечения.
Подставим найденные значения:
y — (-23/8) = 4( x — 1/4 )
y + 23/8 = 4x — 1
y = 4x — 1 — 23/8
y = 4x — 21/8
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой y₀=1 равно y = 4x — 21/8.
б) Аналогично, чтобы найти уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой y₀=-3, нужно выполнить следующие шаги:
1. Определить производную функции y=2x²-3 . Ранее мы уже нашли производную: y’ = 4x.
2. Подставим значение y=-3 в производную y’ и решим уравнение для нахождения значения x. Получим:
-3 = 4x
x = -3/4
3. Подставим найденное значение x=-3/4 обратно в функцию y=2x²-3, чтобы найти соответствующее значение y:
y = 2*(-3/4)² — 3
y = 2*(9/16) — 3
y = 9/8 — 3
y = 9/8 — 24/8
y = -15/8
Таким образом, координаты точки пересечения касательной с графиком функции y=2x²-3 равны (-3/4, -15/8).
4. Чтобы найти уравнение касательной, нужно использовать найденные координаты точки пересечения и значение производной в этой точке. Уравнение касательной имеет вид y — y₁ = k(x — x₁), где (x₁, y₁) — координаты точки пересечения, а k — значение производной в точке пересечения.
Подставим найденные значения:
y — (-15/8) = 4( x — (-3/4) )
y + 15/8 = 4x + 3/4
y = 4x + 3/4 — 15/8
y = 4x — 15/8 + 6/8
y = 4x — 9/8
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой y₀=-3 равно y = 4x — 9/8.