1. Постройте график функции у = х2+8х+5 и найдите: а) корни функции; б) интервалы, где y 0; в

1. a) Для того чтобы найти корни функции у = х^2 + 8х + 5, нужно решить квадратное уравнение х^2 + 8х + 5 = 0. Можно воспользоваться формулой дискриминанта D = b^2 — 4ac, где a, b, и c — это коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае a = 1, b = 8, c = 5. Подставляем значения в формулу дискриминанта: D = 8^2 — 4 * 1 * 5 = 64 — 20 = 44.

Так как дискриминант D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Вычисляем корни уравнения с использованием формулы (-b ± sqrt(D)) / 2a:

х1 = (-8 + sqrt(44)) / 2*1 = (-8 + 2sqrt(11)) / 2 = -4 + sqrt(11)
х2 = (-8 — sqrt(44)) / 2*1 = (-8 — 2sqrt(11)) / 2 = -4 — sqrt(11)

Таким образом, корни функции у = х^2 + 8х + 5 равны х1 = -4 + sqrt(11) и х2 = -4 — sqrt(11).

b) Чтобы найти интервалы, в которых у 0, нужно проанализировать знак функции на разных участках графика. Для этого найдем вершину параболы, которая соответствует минимальному значению функции. Выпишем уравнение функции у = х^2 + 8х + 5 в виде (х + 4)^2 — 11.

Видно, что значение выражения (х + 4)^2 будет минимальным, когда х + 4 = 0, т.е. х = -4.

Таким образом, минимальное значение функции равно y = (-4)^2 — 11 = 16 — 11 = 5.

На участке слева от вершины параболы (х 0.
На участке между корнями функции (-4 — sqrt(11) < х < -4 + sqrt(11)) функция будет отрицательной, так как (х + 4)^2 — 11 -4 + sqrt(11)) функция также будет положительной, так как (х + 4)^2 > 0.

Итак, интервалы, на которых y 0, это (-∞, -4 — sqrt(11)) и (-4 + sqrt(11), +∞).

в) Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает и убывает, нужно проанализировать производную функции. В данном случае, производная функции у = х^2 + 8х + 5 равна у’ = 2х + 8.

Если производная больше нуля (у’ > 0), то функция убывает. Если производная меньше нуля (у’ < 0), то функция возрастает.

Уравнение 2х + 8 = 0 имеет корень х = -4. Это значит, что на интервале (-∞, -4) функция убывает, а на интервале (-4, +∞) функция возрастает.

г) Минимальное значение функции равно 5, как было найдено выше.

2. Чтобы определить область значений функции у = -х^2 + 6х + 2, нужно найти максимальное или минимальное значение функции. В данном случае, у = -х^2 + 6х + 2 является параболой с коэффициентом а равным -1, что означает, что парабола смотрит вниз.

Так как коэффициент при х^2 отрицательный, функция не будет иметь максимума и область значений будет весьма простым интервалом. Чтобы найти этот интервал, можно применить методы вида "замены переменной" или "графического анализа".

Для графического анализа можно построить график параболы у = -х^2 + 6х + 2 и проанализировать его. Но так как здесь нет возможности нарисовать график, попробуем найти другие методы.

Используем замену переменной: пусть t = -х. Тогда у = t^2 — 6t + 2.

Найдем вершину параболы, которая будет соответствовать максимальному значению функции. Вершина параболы имеет координаты (t, у), где t = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3/2.

Таким образом, минимальное значение функции равно у = (3/2)^2 — 6 * (3/2) + 2 = 9/4 — 18/4 + 8/4 = -1/4.

То есть, область значений функции у = -х^2 + 6х + 2 будет от -1/4 до плюс бесконечности.

3. Чтобы найти координаты точек пересечения параболы у = 1/5 и прямой у = 20-3х, нужно приравнять уравнения друг к другу и решить получившееся уравнение.

Уравнение параболы у = 1/5 равно х^2 + 8х + 5 = 0.
Уравнение прямой у = 20-3х равно 20-3х = 1/5.

Найдем решения этих уравнений:

для параболы: х^2 + 8х + 5 = 0

Мы уже находили корни этого уравнения ранее: х1 = -4 + sqrt(11) и х2 = -4 — sqrt(11).

для прямой: 20-3х = 1/5

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения и приведем к общему знаменателю:

15(20-3х) = 1
300 — 45х = 1
45х = 299
х = 299/45

Таким образом, точка пересечения параболы и прямой имеет координаты (299/45, 1).

4. Чтобы построить график функции у = 3 — (х-1)^2 с использованием шаблона параболы у = х^2, нужно выполнить несколько шагов:

а) Найти вершину параболы, которая будет соответствовать минимальному значению функции. Вершина параболы имеет координаты (х, у), где х = 1.

б) Найти значение функции в вершине параболы. Подставляем х = 1 в у = 3 — (х-1)^2: у = 3 — (1-1)^2 = 3 — 0 = 3.

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1, 3).

в) Используя шаблон параболы у = х^2, знаем что парабола открывается вверх, поэтому график функции у = 3 — (х-1)^2 будет иметь ту же форму параболы, но будет смещен вправо на 1 единицу и снизу на 3 единицы.

Теперь, зная вершину параболы (1, 3), мы можем построить график функции у = 3 — (х-1)^2.