Докажите, что ac равно a1c1 в треугольниках abc и a1b1c1, где на рисунке 92: bd равно b1d1, угол abd равен углу a1b1d1, угол cbd равен углу c1b1d1, угол cdb равен углу c1d1b1.
Пошаговый ответ:
По условию задачи, у нас есть следующие совпадения углов и сторон:
1. Угол abd равен углу a1b1d1.
2. Угол cbd равен углу c1b1d1.
3. Угол cdb равен углу c1d1b1.
4. Равенство сторон: bd=b1d1.
Нам нужно доказать, что сторона ac равна стороне a1c1.
Рассмотрим треугольник abc:
1. По аксиоме о трёх углах, сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Угол cdb + угол cbd + угол b = 180°.
Углы c1d1b1, c1b1d1 и b1 тоже суммируются в 180° (существует прямая, на которой все точки лежат, и эта прямая задает угол в 180°).
2. Используем равенство углов: углы cdb и c1d1b1 равны, углы cbd и c1b1d1 равны.
Это значит, что углы обоих треугольников abc и a1b1c1 равны друг другу.
3. Следовательно, оба треугольника должны быть подобными (соответствующие углы равны) по теореме о равных углах при подобии треугольников.
4. Также, по условию задачи, мы знаем, что стороны bd и b1d1 равны друг другу (bd=b1d1). Аналогично для других сторон.
5. Из подобия треугольников abc и a1b1c1 следует, что соответствующие стороны пропорциональны, то есть:
ab / a1b1 = bc / b1c1 = ac / a1c1.
Мы уже знаем, что ab/b1b1 = bc/b1c1 = bd/b1d1 = ac/a1c1.
Так как bd=b1d1, то ab/b1b1 = bc/b1c1 = ac/a1c1.
6. Значит, ac=a1c1.
Таким образом, мы доказали, что сторона ac равна стороне a1c1 в треугольниках abc и a1b1c1, используя аксиому о трёх углах и условия задачи.