Какие целые числа, при делении на 15 и 24, дают остатки 8 и 9 соответственно?
Пошаговый ответ:
Метод подбора:
1. Начнем с минимального общего кратного чисел 15 и 24, которое составляет 120.
2. Подберем числа, которые при делении на 15 дают остаток 8 и при делении на 24 дают остаток 9.
— При делении на 15 числа 8, 23, 38, 53 и т. д. дают остаток 8.
— При делении на 24 числа 9, 33, 57, 81 и т. д. дают остаток 9.
3. Из полученного списка чисел выберем те, которые совпадают. В данном случае нами является число 33.
— Остаток 8 при делении 33 на 15 получается как 33 — (15 * 2) = 3.
— Остаток 9 при делении 33 на 24 получается как 33 — (24 * 1) = 9.
Таким образом, единственное целое число, которое при делении на 15 даёт остаток 8 и при делении на 24 даёт остаток 9, равно 33.
Алгоритм Китайской теоремы об остатках:
1. Запишем данные остатки и модули в систему сравнений:
— x ≡ 8 (mod 15)
— x ≡ 9 (mod 24)
2. Найдем обратное число по модулю 15 для 24, используя алгоритм расширенного Евклида:
— Найдем НОД(15, 24): 24 = 1 * 15 + 9
— 9 = 24 — 1 * 15
— 9 = 15 — 24 + 1 * 15
— 9 = 2 * 15 — 24
— Обратное число для 24 по модулю 15 равно -2.
3. Решим систему уравнений:
— x ≡ 8 (mod 15)
— x ≡ 9 (mod 24)
4. Применим алгоритм Китайской теоремы об остатках:
— x = (8 * (-2) * 24 + 9 * 1 * 15) % (15 * 24)
— x = (-384 + 135) % 360
— x = -249 % 360
5. Найдем ответ:
— x = -249 + 360 = 111.
Таким образом, единственное целое число, которое при делении на 15 даёт остаток 8 и при делении на 24 даёт остаток 9, равно 111.