Каков радиус описанной окружности треугольника ABC, если угол C равен 135° и AB = 26 2 ?
Пошаговый ответ:
Теорема синусов гласит следующее:
В любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно постоянному значению, равному удвоенному радиусу описанной окружности.
Итак, у нас дан угол C, равный 135°, и известно, что AB = 26√2.
Для начала найдем синус угла C:
sin(135°) = sin(180° — 135°) = sin(45°) = √2/2.
Далее вспомним, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:
AB/sin(C) = 2 * R,
где AB — длина стороны, противолежащей углу C, R — радиус описанной окружности.
Подставим известные значения:
26√2 / ( √2/2 ) = 2 * R.
Сократим √2:
26 * 2 / (√2/2) = 4 * R,
52 / (√2/2) = 4 * R.
Произведем деление:
52 / (√2/2) = 4 * R,
52 * 2 / √2 = 4 * R,
104 / √2 = 4 * R.
Если мы умножим и разделим правую часть уравнения на √2, то получим:
104 * √2 / (√2 * √2) = 4 * R,
104 * √2 / 2 = 4 * R,
52 * √2 = 4 * R.
Теперь разделим обе части уравнения на 4:
(52 * √2) / 4 = (4 * R) / 4,
13 * √2 = R.
Таким образом, радиус описанной окружности треугольника ABC равен 13 * √2.
Ответ: Радиус описанной окружности треугольника ABC равен 13 * √2.