Какое максимальное количество точек плоскости можно закрасить, если расстояние от каждой точки до всех вершин данного равностороннего треугольника меньше его стороны?
Пошаговый ответ:
Предположим, дан треугольник со стороной длиной a. Рассмотрим одну из его вершин A. Если точка B находится на расстоянии меньше a от вершины A, то эта точка должна находиться внутри сектора, образованного лучами, исходящими из вершины A под углами ±120 градусов.
Аналогично, если точка C находится на расстоянии меньше a от вершины B, то эта точка должна находиться внутри сектора, образованного лучами, исходящими из вершины B под углами ±120 градусов.
Наконец, если точка A находится на расстоянии меньше a от вершины C, то эта точка должна находиться внутри сектора, образованного лучами, исходящими из вершины C под углами ±120 градусов.
Таким образом, каждая из трех вершин треугольника задает сектор на плоскости, внутри которого можно закрасить точки, находящиеся на расстоянии меньшем, чем a, от этой вершины.
Теперь рассмотрим место пересечения этих трех секторов. Если точка находится внутри всех трех секторов, то она находится на расстоянии меньшем, чем a, от каждой из трех вершин треугольника.
Чтобы найти точку пересечения секторов, можно провести прямые линии между парами вершин треугольника. Эти прямые линии пересекутся в вершине каждого из секторов. Точка пересечения этих трех прямых линий будет искомой точкой пересечения секторов.
Таким образом, максимальное количество точек плоскости, которые можно закрасить так, чтобы расстояние от каждой из них до каждой вершины данного равностороннего треугольника было меньше его стороны, равно 1 — точке пересечения секторов.