Требуется доказать, что в параллелограмме ABCD точка Е не лежит в плоскости параллелограмма и треугольник ABE, и нужно доказать, что сторона CD параллельна стороне ABE.
Пошаговый ответ:
Предположим, что точка Е лежит в плоскости параллелограмма ABCD и треугольника ABE. Тогда линия AE будет лежать в этой плоскости.
Следующим шагом необходимо доказать, что сторона CD параллельна стороне ABE.
Для этого рассмотрим параллельные прямые AB и CD и их пересечение с прямой AE. Обозначим точку пересечения прямой AE с прямой AB как F, а точку пересечения с прямой CD как G.
Поскольку AB и CD параллельны, мы можем заключить, что прямые AE и FG также параллельны.
Теперь рассмотрим треугольник AFG. В этом треугольнике сторона AF параллельна стороне BG (поскольку AE || FG), и сторона AB параллельна стороне FG (поскольку AB || CD).
Исходя из параллельности сторон треугольника AFG и параллелограмма ABCD, мы можем заключить, что треугольник AFG подобен параллелограмму ABCD.
Теперь рассмотрим треугольник ABE. Треугольник ABE и треугольник AFG имеют общую сторону AB и общий угол A. Кроме того, сторона AE (по предположению) и сторона AF (по построению) являются боковыми сторонами соответствующих треугольников.
Из подобия треугольников ABE и AFG следует, что они имеют равные углы. Таким образом, угол BAE равен углу GAF.
Однако, это противоречит тому, что в треугольнике ABE угол BAE является прямым углом (так как AE — высота треугольника к основанию AB).
Таким образом, наше предположение о том, что точка Е лежит в плоскости параллелограмма ABCD и треугольника ABE, является ложным.
Следовательно, можно сделать вывод, что точка Е не лежит в плоскости параллелограмма и треугольника ABE.
Для доказательства, что сторона CD параллельна стороне ABE, можно воспользоваться доказательством выше. Мы доказали, что прямые AE и FG параллельны, а также треугольник AFG подобен параллелограмму ABCD.
Так как сторона AB параллельна стороне FG (по построению), а сторона AE параллельна стороне AF (по предположению), то по транзитивности параллельности сторона CD также параллельна стороне ABE.
Таким образом, мы доказали, что сторона CD параллельна стороне ABE.
методом математической индукции, рассмотрев базовый случай, когда Е лежит на стороне AB, и предположив, что для n-го случая точка Е не лежит в рассматриваемой плоскости, затем можно провести логическую цепочку доказательств, учитывая свойства параллелограмма и треугольника, чтобы окончательно доказать, что Е не может принадлежать обеим плоскостям, а также доказать параллельность стороны CD к стороне ABE через соответствующие пары углов.