Какая третья координата орта вектора, в направлении которого функция u =3^(x-y^2-z) быстрее убывает в точке m(1; 1

Для начала найдем градиент функции u = 3^(x — y^2 — z). Градиент задает направление наибольшего возрастания функции в точке. Формула градиента для данной функции будет следующей:

∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)

Вычислим каждую частную производную:

∂u/∂x = d(3^(x — y^2 — z))/dx = 3^(x — y^2 — z) * ln(3)
∂u/∂y = d(3^(x — y^2 — z))/dy = -2y * 3^(x — y^2 — z) * ln(3)
∂u/∂z = d(3^(x — y^2 — z))/dz = -3^(x — y^2 — z) * ln(3)

Теперь найдем значения частных производных в точке m(1, 1, -1):

∂u/∂x = 3^(1 — 1^2 — (-1)) * ln(3) = 3^1 * ln(3) = 3 * ln(3)

∂u/∂y = -2 * 1 * 3^(1 — 1^2 — (-1)) * ln(3) = -2 * 1 * 3^1 * ln(3) = -2 * 3 * ln(3)

∂u/∂z = -3^(1 — 1^2 — (-1)) * ln(3) = -3^1 * ln(3) = -3 * ln(3)

Теперь у нас есть градиент в точке m(1, 1, -1):

∇u = (3 * ln(3), -2 * 3 * ln(3), -3 * ln(3))

Для определения направления, в котором функция убывает быстрее, необходимо взять вектор, противоположный направлению градиента.

Найдем противоположный вектор:

-v = (-3 * ln(3), 2 * 3 * ln(3), 3 * ln(3))

Таким образом, третья координата орта вектора, в направлении которого функция u = 3^(x — y^2 — z) быстрее убывает в точке m(1, 1, -1), равна 3 * ln(3).