Каков угол ВАС прямоугольного треугольника АВС и длина его биссектрисы, если длина НС равна 8 см?

Для решения задачи нам понадобится использовать свойства прямоугольных треугольников.

1. Найдем угол ВАС:
Угол ВАС является прямым углом, так как треугольник АВС — прямоугольный. Значит, угол ВАС равен 90 градусов.

2. Найдем длину биссектрисы:
Биссектриса треугольника АВС делит угол А на два равных угла. Обозначим точку пересечения биссектрисы с АС как М.

Для нахождения длины биссектрисы воспользуемся формулой: Длина биссектрисы = (2 * АС * ВМ) / (АС + ВМ),
где ВМ — расстояние от вершины В до точки пересечения биссектрисы с ВС.

3. Найдем расстояние ВМ:
Применим теорему Пифагора к треугольнику ВСМ:
ВВ^2 = ВМ^2 + МС^2.

Из свойств прямоугольных треугольников следует, что ВВ = ВА + АС. Подставим это в уравнение:
(ВА + АС)^2 = ВМ^2 + МС^2.

ВА = ВМ + МС, так как ВМ — расстояние от вершины В до точки пересечения биссектрисы с ВС.
Подставим это в уравнение:
(ВМ + МС + АС)^2 = ВМ^2 + МС^2.

Раскроем скобки:
ВМ^2 + МС^2 + АС^2 + 2 * АС * (ВМ + МС) = ВМ^2 + МС^2.

Упростим:
АС * (ВМ + МС) = 0.

Так как АС не равно 0, то ВМ + МС = 0.

Из этого следует, что ВМ = -МС.

4. Подставим ВМ = -МС в формулу для длины бисектрисы:
(2 * АС * -МС) / (АС — МС).

Упростим:
-2 * МС.

Итак, длина биссектрисы равна -2 * МС.

Так как расстояние не может быть отрицательным, то длина бисектрисы равна 2 * МС = 2 * 8 см = 16 см.

Таким образом, угол ВАС прямоугольного треугольника АВС равен 90 градусов, а длина его биссектрисы равна 16 см.