Если угол АОВ равен 128 градусов и точка О является центром вписанной окружности треугольника ABC, то каков угол C

Для решения этой задачи нам понадобится знание о свойствах вписанных углов треугольника и о связи углов треугольника с дугами окружности.

Первое свойство, которое мы будем использовать, гласит:
«Угол, стоящий на дуге, равен половине этой дуги.»
Это означает, что любой угол треугольника, стоящий на дуге вписанной окружности, равен половине длины этой дуги.

Другое полезное свойство:
«Сумма углов треугольника равна 180 градусов.»
Это свойство позволяет нам найти третий угол треугольника, если мы знаем значения двух других углов.

Теперь давайте решим задачу.

У нас дан угол АОВ равный 128 градусов. Так как точка О является центром вписанной окружности треугольника ABC, то угол BAC является углом, стоящим на дуге BOV. Следовательно, угол BAC равен половине дуги BOV.

Для нахождения длины дуги BOV в градусах, мы можем использовать связь между длиной дуги и центральным углом:
«Длина дуги равна произведению центрального угла на радиус окружности.»

Поскольку окружность является вписанной, радиус равен расстоянию от центра окружности до любой стороны треугольника. Заметим, что радиус окружности от точки О до стороны треугольника равен расстоянию от точки О до любой вершины треугольника, так как радиус окружности перпендикулярен стороне треугольника и сходится к каждой его вершине.

Поэтому, у нас есть угол АОВ, равный 128 градусов, и радиус окружности, проходящий через сторону треугольника. Давайте обозначим эту сторону через x. Тогда у нас будет угол BOV, равный 64 градусам (так как BOV является углом на дуге радиуса x и угол BOV в два раза меньше угла АОВ).

Теперь давайте вернемся к свойству, которое гласит, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

У нас есть два угла треугольника — угол BAC, который равен половине дуги BOV, и угол BOV, равный 64 градусам. Мы можем найти третий угол, вычтя из 180 градусов сумму двух известных углов:
Угол C = 180 градусов — угол BAC — угол BOV

Угол BAC равен половине дуги BOV, которая равна 64 градусам:
Угол BAC = 64 градуса / 2 = 32 градуса

Таким образом, у нас получается:
Угол C = 180 градусов — 32 градуса — 64 градуса = 84 градуса

Ответ: Угол C треугольника ABC равен 84 градусам.