Чему равна площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD, если известно, что сторона основания равна 32 и двугранный угол при ребре основания равен arcsin √5/3?
Пошаговый ответ:
Во-первых, нам нужно понять, как вычислить площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных треугольников, так как пирамида правильная. Поэтому нам нужно найти площадь одного из этих треугольников и умножить ее на 4.
Во-вторых, нам нужно знать формулу для нахождения площади треугольника. Площадь треугольника можно вычислить, зная две стороны треугольника и синус угла между этими сторонами. Формула выглядит следующим образом:
S = (1/2) * a * b * sinγ,
где S — площадь треугольника, a и b — длины сторон треугольника, а γ — угол между сторонами a и b.
Теперь к нашей задаче. Мы знаем, что сторона основания равна 32. Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды нам нужно найти длину стороны треугольника и значение синуса двугранного угла.
Из условия задачи указан двугранный угол при ребре основания, равный arcsin(√5/3). Чтобы найти значение этого угла, нам нужно взять обратный синус от (√5/3).
arcsin(√5/3) ≈ 0.928
Таким образом, мы нашли значение угла γ.
Теперь, чтобы найти длину стороны треугольника, нам нужно знание основной тригонометрической формулы:
sinα = a / c,
где α — угол, противолежащий стороне a, и с — гипотенуза треугольника.
Мы знаем, что sinγ = (√5/3) и что сторона основания равна 32. Пусть сторона треугольника равна а. Тогда:
sinγ = (√5/3) = a / 32,
a = 32 * (√5/3) ≈ 18.55.
Мы нашли длину стороны треугольника.
Теперь можем вычислить площадь одного из треугольников:
S = (1/2) * a * b * sinγ,
S = (1/2) * 32 * 18.55 * (√5/3) ≈ 315.
Наконец, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, мы умножаем площадь одного треугольника на 4:
Площадь боковой поверхности = 4 * 315 = 1260.
Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна 1260.