Каков закон распределения, математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, которая представляет собой число вынутых черных шаров из урны, содержащей 5 белых и 25 черных шаров, при условии вынимания а) 2 шаров, б) 3 шаров?
Пошаговый ответ:
Пусть Х — число вынутых черных шаров из урны.
В данной задаче мы можем вынуть 0, 1 или 2 черных шара.
Вероятность вынуть 0 черных шара:
P(Х=0) = (5/30) * (4/29) = 20/870 ≈ 0,02299
Вероятность вынуть 1 черный шар:
P(Х=1) = (25/30) * (5/29) + (5/30) * (25/29) = 250/870 ≈ 0,28736
Вероятность вынуть 2 черных шара:
P(Х=2) = (25/30) * (24/29) ≈ 0,41379
Таким образом, закон распределения случайной величины Х при вынимании 2 шаров будет следующим:
Х | 0 | 1 | 2
P | 0,02299 | 0,28736 | 0,41379
2) Распределение случайной величины Х при вынимании 3 шаров:
Аналогично, в данной задаче мы можем вынуть 0, 1, 2 или 3 черных шара.
Вероятность вынуть 0 черных шара:
P(Х=0) = (5/30) * (4/29) * (3/28) = 60/24360 ≈ 0,00246
Вероятность вынуть 1 черный шар:
P(Х=1) = (25/30) * (5/29) * (4/28) + (5/30) * (25/29) * (20/28) + (5/30) * (4/29) * (25/28) = 500/24360 ≈ 0,02055
Вероятность вынуть 2 черных шара:
P(Х=2) = (25/30) * (24/29) * (5/28) + (25/30) * (5/29) * (20/28) + (5/30) * (25/29) * (4/28) ≈ 0,08506
Вероятность вынуть 3 черных шара:
P(Х=3) = (25/30) * (24/29) * (23/28) ≈ 0,17747
Таким образом, закон распределения случайной величины Х при вынимании 3 шаров будет следующим:
Х | 0 | 1 | 2 | 3
P | 0,00246 | 0,02055 | 0,08506 | 0,17747
3) Математическое ожидание:
Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины Х можно вычислить по формуле:
E(X) = Σ(Х * P(Х)), где Σ означает сумму по всем значениям Х.
Для случая вынимания 2 шаров:
E(X) = 0 * 0,02299 + 1 * 0,28736 + 2 * 0,41379 ≈ 1,11594
Для случая вынимания 3 шаров:
E(X) = 0 * 0,00246 + 1 * 0,02055 + 2 * 0,08506 + 3 * 0,17747 ≈ 0,6059
4) Дисперсия и среднеквадратическое отклонение:
Дисперсия (Var) и среднеквадратическое отклонение (σ) случайной величины Х можно вычислить по следующим формулам:
Var(X) = Σ((Х — E(X))^2 * P(Х))
σ = √(Var(X))
Для случая вынимания 2 шаров:
Var(X) = (0 — 1,11594)^2 * 0,02299 + (1 — 1,11594)^2 * 0,28736 + (2 — 1,11594)^2 * 0,41379 ≈ 0,702677
σ = √(Var(X)) ≈ 0,8383
Для случая вынимания 3 шаров:
Var(X) = (0 — 0,6059)^2 * 0,00246 + (1 — 0,6059)^2 * 0,02055 + (2 — 0,6059)^2 * 0,08506 + (3 — 0,6059)^2 * 0,17747 ≈ 0,734741
σ = √(Var(X)) ≈ 0,8572