а) Какова область значений функции у=6+4х-2х^2?
б) При каких значениях аргумента функция убывает?
Пошаговый ответ:
Для начала, давайте рассмотрим функцию у=6+4х-2х^2 и попробуем выразить ее в виде квадратного уравнения вида ax^2+bx+c.
y = 6 + 4x — 2x^2
Мы можем переупорядочить таким образом:
y = -2x^2 + 4x + 6
Теперь видим, что это квадратное уравнение и у нас есть a = -2, b = 4 и c = 6.
Далее, мы можем использовать дискриминант, чтобы определить, какие значения аргумента приведут к положительным, отрицательным или нулевым значениям функции.
Дискриминант вычисляется по формуле D = B^2 — 4ac, где B — коэффициент при х, а и с — коэффициенты при х^2 и свободный член соответственно.
D = (4)^2 — 4*(-2)*(6)
D = 16 + 48
D = 64
Теперь, поскольку дискриминант положительный (D > 0), это означает, что уравнение имеет два корня и функция принимает положительные и отрицательные значения.
Чтобы определить, какие именно это значения, можно воспользоваться вершиной параболы. Вершина параболы может быть найдена по формуле: x = -b / (2a).
x = -4 / (2*(-2))
x = 4 / 4
x = 1
Теперь, используя этот значение аргумента, мы можем найти значение функции:
y = -2(1)^2 + 4(1) + 6
y = -2 + 4 + 6
y = 8
Таким образом, функция принимает наибольшее значение 8 при x = 1.
Теперь, мы можем составить таблицу значений функции у = 6 + 4х — 2х^2:
x | y
——-
-∞ | +∞
1 | 8
+∞ | +∞
Отсюда видно, что областью значений функции является множество всех действительных чисел, кроме значения 8. То есть, у функции есть максимальное значение 8, а все остальные значения могут быть приняты функцией.
б) Функция убывает, когда значения функции уменьшаются с ростом аргумента. Для нахождения таких значений, мы можем использовать производную функции.
Для функции y = 6 + 4x — 2x^2, найдем ее производную по x:
y’ = 4 — 4x
Теперь, чтобы понять, при каких значениях аргумента функция убывает, мы должны рассмотреть знак производной.
Если производная положительна (y’ > 0), это означает, что функция возрастает. Если производная отрицательна (y’ < 0), это означает, что функция убывает.
Давайте найдем значения аргумента, при которых производная отрицательна:
4 — 4x 4
x > 1
То есть, функция убывает при x > 1.
Итак, мы можем сделать вывод, что функция y = 6 + 4x — 2x^2 убывает при всех значениях аргумента x больше 1.