Катя бросила теннисный мячик, и после каждого отскока от асфальта его высота становилась втрое меньше предыдущей. Какой

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой для расчета высоты мячика после каждого отскока. Начнем с того, что мы знаем, что после первого отскока высота составляет 540 см. После каждого последующего отскока высота уменьшается втрое.

Мы можем представить высоту мячика после первого отскока как $H_1=540$ см.

После второго отскока, высота станет втрое меньше первой высоты: $H_2=\frac{1}{3}\cdot H_1$.

После третьего отскока, высота снова уменьшится втрое: $H_3=\frac{1}{3}\cdot H_2$.

И так далее.

Нам нужно найти порядковый номер отскока, когда высота будет меньше 10 см. То есть, мы хотим найти такое n, при котором $H_n<10$ см.

Давайте сначала выразим высоту после второго отскока ($H_2$) через $H_1$, и после третьего отскока ($H_3$) через $H_2$, и так далее. В этом случае:

$H_2=\frac{1}{3}\cdot H_1$
$H_3=\frac{1}{3}\cdot H_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot H_1$
$H_4=\frac{1}{3}\cdot H_3=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot H_1$

Мы видим, что высота после n-го отскока будет равна ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\cdot H_1$.

Теперь мы можем записать неравенство для n:

${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\cdot 540<10$

Чтобы решить это неравенство, начнем с того, что мы можем преобразовать 10 см в те же единицы измерения, что и у нас, то есть в сантиметры:

10 см = 10 см

Теперь наше неравенство выглядит так:

${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\cdot 540<10$ см

Теперь давайте избавимся от 540, разделив обе стороны неравенства на 540:

${\left(\frac{1}{3}\right)}^n<\frac{10}{540}$

Упростим правую сторону:

${\left(\frac{1}{3}\right)}^n<\frac{1}{54}$

Теперь давайте возьмем логарифм от обеих сторон неравенства:

$\log \left({\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right)<\log \left(\frac{1}{54}\right)$

Используя свойство логарифмов $\log (a^b)=b\cdot \log (a)$:

$n\cdot \log \left(\frac{1}{3}\right)<\log \left(\frac{1}{54}\right)$

Теперь давайте разделим обе стороны на $\log \left(\frac{1}{3}\right)$:

$n<\frac{\log \left(\frac{1}{54}\right)}{\log \left(\frac{1}{3}\right)}$

Теперь можем рассчитать значение n, используя логарифмы и калькулятор:

$n<\frac{\log \left(\frac{1}{54}\right)}{\log \left(\frac{1}{3}\right)}\approx 7.18$

Так как n должно быть целым числом, ближайшее целое число меньше 7.18 — это 7.

Итак, порядковый номер отскока, при котором высота мячика станет менее 10 см, равен 7. То есть это будет после 7-го отскока.