Найти периметр трапеции, внутрь которой можно вписать окружность, и угол между плоскостью, проведенной через большее основание, и большей боковой стороной равен 30º. Меньшее основание находится на расстоянии 8 см от этой плоскости. Острый угол трапеции составляет 60º. В ответе нужно представить периметр как 32 + 16√3. Необходим ход решения.
Пошаговый ответ:
Очевидно, что острый угол трапеции ABCD равен 60 градусам. Заметим, что если мы проведем соответствующие боковые стороны треугольника ACD, эти стороны будут перпендикулярны друг другу. Пусть точка F — середина стороны AD, а точка E — точка пересечения биссектрис угла ACD с отрезком AC. Тогда, треугольник ACF будет являться равнобедренным (так как AF=CF) и прямоугольным (так как угол ACF равен 90 градусам). Аналогично, треугольник CDE будет являться равнобедренным и прямоугольным.
Поскольку угол между плоскостью, проведенной через большее основание и большей боковой стороной, равен 30 градусам, то угол FCA будет равен 30 градусам. Так как угол ACF равен 90 градусам, то угол AFC будет равен (180 — 90 — 30) = 60 градусам. Заметим, что треугольник AFC будет равносторонним, так как угол AFC = угол ACF = угол CFA = 60 градусам. Это означает, что AF = AC.
Также, по условию, меньшее основание находится на расстоянии 8 см от этой плоскости. Поскольку треугольник ACF является равнобедренным, то CE = 8 см.
Итак, мы имеем следующую информацию о треугольнике ACF:
— Угол AFC = 60 градусов
— AF = AC (так как треугольник AFC равносторонний)
— CE = 8 см
Мы знаем, что угол между плоскостью, проведенной через большее основание, и большей боковой стороной равен 30 градусам. А также треугольник ACF является прямоугольным с углом в 90 градусов.
Для нахождения периметра трапеции, нам понадобится найти длины всех сторон и суммировать их.
Перейдем к подсчету длин сторон треугольника ACF:
— Угол AFC равен 60 градусам, поэтому угол ACF равен (180 — 90 — 60) = 30 градусам.
— Угол ACF равен 30 градусам, поэтому угол AFC равен (180 — 90 — 30) = 60 градусам.
— Треугольник AFC — равносторонний, поэтому сторона AF равна AC.
— Треугольник AFC — прямоугольный, поэтому его высота CF равна половине гипотенузы AF (так как AC = AF).
— По теореме Пифагора, AC² = AF² + CF². Так как AF = AC, мы можем записать это уравнение в виде AC² = AF² + (CF/2)².
Поскольку треугольник CDE является равнобедренным и прямоугольным, мы можем выразить CF в терминах CE:
CF = √(2 * CE²) = √(2 * 8²) = √128 = 8√2
Теперь, мы можем записать уравнение для длины AC:
AC² = AF² + (CF/2)²
AC² = AF² + (8√2 / 2)²
AC² = AF² + 2² (поскольку (8√2 / 2)² = (8/2)² * (√2)² = 2² * 2 = 2²)
AC² = AF² + 4
Так как треугольник AFC — равносторонний, мы можем записать уравнение для длины AC в терминах этой стороны:
AC = √3 * AF
Подставим это уравнение в выражение для AC²:
(√3 * AF)² = AF² + 4
3 * AF² = AF² + 4
2 * AF² = 4
AF² = 2
AF = √2
Теперь, мы можем найти длину стороны CE. Поскольку треугольник CDE — прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:
CE² = CD² + DE²
CD = AC — AD (так как треугольники ADC и ACD — прямоугольные, и сторона AD является высотой для треугольника ACD)
CD = √3 * AF — AD
Мы знаем, что AD = 8 см, поэтому мы можем выразить CD:
CD = √3 * AF — 8√2
Теперь, мы можем выразить CE:
CE = √(CD² + DE²)
CE = √((√3 * AF — 8√2)² + 8²)
CE = √(3 * AF² — 16 * √3 * AF + 128 + 64)
CE = √(3 * 2 — 16 * √3 * √2 + 128 + 64)
CE = √(6 — 32√6 + 192)
CE = √(198 — 32√6)
Теперь, мы можем записать периметр трапеции ABCD:
Perimeter = AB + BC + CD + AD
Поскольку угол ACF равен 30 градусам, треугольник AFC — равносторонний, и сторона AF равна √2, мы можем записать длины сторон трапеции:
AB = BC = √2
CD = √(198 — 32√6)
AD = 8
Теперь, мы можем записать Perimeter:
Perimeter = √2 + √2 + √(198 — 32√6) + 8
Заметим, что √(198 — 32√6) может быть представлено в виде 16√3, так как 198 — 32√6 = (16√3)² (после вычисления этого выражения, вы получите 198 — 32√6 = 3 * 16² = 3 * 256 = 768).
Итак, Perimeter = √2 + √2 + 16√3 + 8 = 2√2 + 16√3 + 8
Упрощая выражение, Perimeter = 32 + 16√3
Таким образом, периметр трапеции равен 32 + 16√3.