Какой закон распределения описывает размер выигрыша при пяти сделанных покупках, если фирма вкладывает в каждую десятую

Данная задача относится к типу задач на биномиальное распределение.

Биномиальное распределение описывает вероятность наступления события в серии независимых испытаний, при условии, что вероятность успеха в каждом испытании одинакова.

В данном случае интересующая нас случайная величина — размер выигрыша при пяти сделанных покупках. Успехом является получение приза, а неудачей — его отсутствие.

Условие задачи говорит, что фирма вкладывает приз в каждую десятую единицу продукции. Это означает, что вероятность получения приза при одной покупке составляет 1/10 = 0.1. А вероятность не получения приза (неудачи) будет равна 1 — 0.1 = 0.9.

Используя формулу для вероятности биномиального распределения, которая имеет вид:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где:
— P(X = k) — вероятность получения k успешных результатов в серии из n испытаний
— C(n, k) — количество сочетаний из n по k (число возможных вариантов получения k успехов из n испытаний)
— p — вероятность успеха в одном испытании
— (1-p) — вероятность неудачи в одном испытании
— k — количество успехов
— n — количество испытаний

В данной задаче n = 5 (5 покупок) и k — количество успешных покупок (выигрышей).

Найдем вероятность каждого возможного значения k (0, 1, 2, 3, 4, 5) при данных значениях n и p:

P(X = 0) = C(5, 0) * 0.1^0 * 0.9^5 = 1 * 1 * 0.59049 = 0.59049
P(X = 1) = C(5, 1) * 0.1^1 * 0.9^4 = 5 * 0.1 * 0.6561 = 0.32805
P(X = 2) = C(5, 2) * 0.1^2 * 0.9^3 = 10 * 0.01 * 0.729 = 0.0729
P(X = 3) = C(5, 3) * 0.1^3 * 0.9^2 = 10 * 0.001 * 0.81 = 0.0081
P(X = 4) = C(5, 4) * 0.1^4 * 0.9^1 = 5 * 0.0001 * 0.9 = 0.00045
P(X = 5) = C(5, 5) * 0.1^5 * 0.9^0 = 1 * 0.00001 * 1 = 0.00001

Теперь построим функцию распределения, которая представляет собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины до данного значения.

Для этого сложим вероятности получения 0, 1, 2, 3, 4 и 5 успешных покупок:

F(X = 0) = 0.59049
F(X = 1) = 0.59049 + 0.32805 = 0.91854
F(X = 2) = 0.59049 + 0.32805 + 0.0729 = 0.99144
F(X = 3) = 0.59049 + 0.32805 + 0.0729 + 0.0081 = 0.99954
F(X = 4) = 0.59049 + 0.32805 + 0.0729 + 0.0081 + 0.00045 = 0.99999
F(X = 5) = 1

Таким образом, получаем следующую функцию распределения:

X | P(X)
————
0 | 0.59049
1 | 0.91854
2 | 0.99144
3 | 0.99954
4 | 0.99999
5 | 1

Чтобы найти числовые характеристики случайной величины (среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение), воспользуемся формулами биномиального распределения:

Среднее значение (математическое ожидание):

mu = n * p = 5 * 0.1 = 0.5

Дисперсия:

sigma^2 = n * p * (1 — p) = 5 * 0.1 * 0.9 = 0.45

Стандартное отклонение:

sigma = sqrt(sigma^2) = sqrt(0.45) = 0.6708

Таким образом, числовые характеристики случайной величины составляют:

Среднее значение: 0.5
Дисперсия: 0.45
Стандартное отклонение: 0.6708

График функции распределения будет представлять собой ступенчатую кривую, где по оси X будут отложены значения случайной величины (количество успешных покупок), а по оси Y — вероятности этих значений.

Построим график:

|
1 +
|
|
0.9 |
|
|
0.8 +
|
|
0.7 |
|
+
|
0.6 |
|
|
0.5 +
|
|
0.4 |
|
+
|
0.3 |
|
|
0.2 +
|
|
0.1 |
|
|
0.0 +—+—+—+—+—
0 1 2 3 4 5

На данном графике видно, как вероятность успешных покупок увеличивается по мере увеличения их числа, а вероятность нулевой выигрышной сделки остается наравне с вероятностью одной успешной сделки.

Надеюсь, данный ответ был понятен школьнику и помог разобраться в задаче.