Какова полная расшифровка? Определите интервалы монотонности, точки экстремума и экстремумы функции у = 2х-x².
Пошаговый ответ:
Монотонность функции означает, что функция либо возрастает (ее значения увеличиваются), либо убывает (ее значения уменьшаются) на определенном интервале значений аргумента.
Экстремумы функции — это точки, в которых функция достигает своих минимальных или максимальных значений.
Теперь задачу можно решать.
У нас дана функция y = 2x — x². Чтобы определить интервалы монотонности, найдем ее производную.
Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности. Производная от константы (2) равна нулю, так как константа не зависит от переменной x. Производная от x² равна 2x.
Теперь сложим две производные: 0 + 2x = 2x.
Производная функции равна 2x. Это означает, что функция будет убывать (то есть иметь отрицательную производную) при значениях x меньше 0, и возрастать (то есть иметь положительную производную) при значениях x больше 0.
Интервалы монотонности функции:
— Убывание на интервале (-∞, 0)
— Возрастание на интервале (0, +∞)
Теперь перейдем к точкам экстремума.
Точки экстремума — это точки, где производная функции равна нулю или не существует.
Найдем производную функции (которую мы уже вычислили): f'(x) = 2x.
Приравняем ее к нулю: 2x = 0
Решим уравнение: x = 0.
Таким образом, точка x = 0 является точкой экстремума.
Теперь найдем значение функции в этой точке. Подставим x = 0 в исходную функцию:
y = 2*0 — 0² = 0.
Точка экстремума: (0, 0).
Это означает, что функция достигает своего максимального значения в точке (0, 0).
Таким образом, полная расшифровка функции y = 2x — x²:
— Интервалы монотонности: убывание на интервале (-∞, 0), возрастание на интервале (0, +∞).
— Точка экстремума: (0, 0), максимальное значение функции.