Для каких значений а уравнение (x^2 — 4x + a) : (5x^2 — 6ax + a^2) = 0 имеет ровно два различных решения?

Чтобы уравнение имело ровно два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был положительным.

Для данного уравнения дискриминант можно выразить следующим образом:

D = (b^2 — 4ac) / (5a^2 — 6ab + a^2),

где a = 1, b = -4, c = a.

Подставим известные значения в формулу и упростим:

D = (-4^2 — 4 * 1 * a) / (5 * 1^2 — 6 * 1 * a + a^2)
D = (16 — 4a) / (5 — 6a + a^2).

Теперь нам нужно найти значения a, при которых выражение (16 — 4a) / (5 — 6a + a^2) будет положительным.

1. Сначала найдём область значений, при которых знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Для этого решим уравнение

5 — 6a + a^2 = 0.

Решением этого квадратного уравнения будет два значения a: a1 = 3 и a2 = 2.

2. Возможны следующие варианты знаков для числителя и знаменателя:

— Если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак, то и результат деления будет положительным. В этом случае нужно найти область, где числитель и знаменатель положительны, или отрицательны.

— Если числитель и знаменатель имеют разный знак, то результат деления будет отрицательным или равным нулю.

Теперь рассмотрим каждый из этих случаев:

а) Числитель и знаменатель положительны:

16 — 4a > 0 (числитель положительный) и 5 — 6a + a^2 > 0 (знаменатель положительный).

Решим неравенства по отдельности:

16 — 4a > 0
4a < 16
a 0
a^2 — 6a + 5 > 0
(a — 1)(a — 5) > 0

Таким образом, значения a должны принадлежать интервалу (1, 3).

б) Числитель и знаменатель отрицательны:

16 — 4a < 0 (числитель отрицательный) и 5 — 6a + a^2 < 0 (знаменатель отрицательный).

Решим неравенства по отдельности:

16 — 4a 16
a > 4

5 — 6a + a^2 < 0
a^2 — 6a + 5 < 0
(a — 1)(a — 5) < 0

В этом случае, значения a должны принадлежать интервалам (-∞, 1) и (3, ∞).

В итоге, уравнение имеет ровно два различных решения, если значение a принадлежит области (1, 3) объединённой с областями (-∞, 1) и (3, ∞).