Для заданного выражения (cos5a+cosa)/-2sin3a=-sin2a, требуется доказать его тождественную верность

Для доказательства тождественной верности данного выражения, мы должны показать, что оно выполняется для любого значения угла ‘a’.

Давайте рассмотрим левую часть уравнения: (cos5a+cosa)/-2sin3a
Чтобы упростить это выражение, мы можем использовать тригонометрические тождества. Напомним некоторые из них:

1. cos(a+b) = cos(a)cos(b) — sin(a)sin(b)
2. sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
3. cos^2(a) + sin^2(a) = 1

Применим эти тождества к нашему выражению:

(cos5a + cosa)/-2sin3a = (cos(4a+a) + cosa)/-2sin3a
= (cos(4a)cos(a) — sin(4a)sin(a) + cos(a))/-2sin3a
= (cos(4a)cos(a) + cos(a) — sin(4a)sin(a))/-2sin3a

Теперь мы можем разложить выражение в сумму и разность:

= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin(a)sin(4a)/-2sin3a

Мы можем также использовать тригонометрическое тождество для sin(4a):

sin(4a) = 2sin(2a)cos(2a)

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin(a)(2sin(2a)cos(2a))/-2sin3a

Теперь обратимся к тождеству sin(2a):

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Подставим его в выражение:

= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin(a)(2(2sin(a)cos(a))cos(2a))/-2sin3a

Упростим это выражение:

= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin(a)(4sin(a)cos(a)cos(2a))/-2sin3a
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin(a)(2sin^2(a)cos(2a))/-2sin3a
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin^2(a)cos(2a)/-sin3a

Применим еще одно тригонометрическое тождество: cos(2a) = 1 — 2sin^2(a)

= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin^2(a)(1 — 2sin^2(a))/-sin3a
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin^2(a) + 2sin^4(a))/-sin3a

Теперь упростим последний член:

= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin^2(a) + 2sin^4(a))/-sin3a
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin^2(a) — 2sin^4(a))/-sin3a

Теперь заметим, что cos(4a) — sin^2(a) = cos^2(a) — sin^2(a) = cos(2a), используя тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1.

= cos(a)(cos(2a) + 1) — 2sin^4(a))/-sin3a
= cos(a)cos(2a) + cos(a) — 2sin^4(a))/-sin3a

Используя тождество cos(a) = 1/sin(a), мы можем переписать это выражение:

= cos(2a)/sin(a) + 1 — 2sin^4(a))/-sin3a
= (cos(2a) — 2sin^4(a))/sin(a) — 1/-sin^3(a)

Теперь давайте рассмотрим правую часть уравнения: -sin2a.
Мы можем использовать тригонометрическое тождество: sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

= -2sin(a)cos(a)

Теперь сравним левую и правую части уравнения:

(cos(2a) — 2sin^4(a))/sin(a) — 1/-sin^3(a) = -2sin(a)cos(a)

Мы можем упростить это выражение, умножив обе стороны на (-sin(a))sin^3(a):

(cos(2a) — 2sin^4(a))(sin^3(a))/sin(a) — 1 = -2sin(a)cos(a)(-sin(a))sin^3(a)

= (cos(2a)sin^3(a) — 2sin^7(a))/sin^2(a) — sin^3(a) = 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a)

Умножим обе стороны на sin^2(a) и раскроем скобки:

cos(2a)sin^5(a) — 2sin^7(a) — sin^2(a) = 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a)

Сгруппируем подобные члены:

cos(2a)sin^5(a) — 2sin^7(a) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0

Теперь, заметим, что cos(2a)sin^5(a) — 2sin^7(a) можно разложить:

cos(2a)sin^5(a) — 2sin^7(a) = cos(2a)(sin^4(a)(1 — sin^2(a)))

Также, мы можем использовать тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

cos(2a)sin^5(a) — 2sin^7(a) = cos(2a)(sin^4(a)cos^2(a))

Теперь вставим это обратно в наше равенство:

cos(2a)(sin^4(a)cos^2(a)) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0

Разложим sin^4(a)cos^2(a) и умножим каждый член на (-1):

cos(2a)(sin^4(a)cos^2(a)) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0
cos(2a)(sin^2(a)(1 — sin^2(a))) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0

Используем тождество sin^2(a)(1 — sin^2(a)) = sin^2(a)cos^2(a):

cos(2a)(sin^2(a)cos^2(a)) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0
cos(2a)sin^2(a)cos^2(a) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0

Теперь заметим, что sin^2(a) можно разложить:

cos(2a)sin^2(a)cos^2(a) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0
sin^2(a)(cos(2a)cos^2(a) — 1 — 2sin^2(a)cos(a)sin(a)) = 0

Мы можем сократить sin^2(a):

cos(2a)cos^2(a) — 1 — 2sin^2(a)cos(a)sin(a) = 0

А теперь заметим, что cos(2a)cos^2(a) = cos^2(a) — sin^2(a) = cos^2(a) — (1 — cos^2(a)) = 2cos^2(a) — 1:

(2cos^2(a) — 1) — 1 — 2sin^2(a)cos(a)sin(a) = 0

Упростим этот выражение:

2cos^2(a) — 2 — 2sin^2(a)cos(a)sin(a) = 0
2(cos^2(a) — 1 — sin^2(a)cos(a)sin(a)) = 0

Также заметим, что sin^2(a)cos(a)sin(a) = sin(a)cos^2(a)sin(a) = sin^2(a)cos^2(a):

2(cos^2(a) — 1 — sin^2(a)cos(a)sin(a)) = 0
2(cos^2(a) — 1 — sin^2(a)cos^2(a)) = 0

Теперь раскроем скобки:

2cos^2(a) — 2 — 2sin^2(a)cos^2(a) = 0
2cos^2(a) — 2sin^2(a)cos^2(a) — 2 = 0

Мы можем сократить на 2:

cos^2(a) — sin^2(a)cos^2(a) — 1 = 0
cos^2(a)(1 — sin^2(a)) — 1 = 0

Мы можем использовать тождество 1 — sin^2(a) = cos^2(a):

cos^2(a)(cos^2(a)) — 1 = 0
cos^4(a) — 1 = 0

Теперь, как мы знаем, cos^2(a) — 1 = -sin^2(a), используя тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

cos^4(a) — 1 = 0
(cos^2(a) — 1)(cos^2(a) + 1) = 0
(-sin^2(a))(cos^2(a) + 1) = 0

Как мы видим, это верно только для значения cos^2(a) + 1 = 0, что не является возможным, потому что cos^2(a) всегда больше или равно нулю.

Таким образом, мы убедились, что значения выражений в левой и правой частях уравнения не равны, что означает, что данное выражение не является тождественно верным.