Какова вероятность того, что за год перегорит больше или равно одной, но меньше или равно трём лампочкам?
Пошаговый ответ:
Допустим, что вероятность того, что лампочка перегорит за год, равна p. Это означает, что вероятность того, что она не перегорит, равна 1-p.
Теперь рассмотрим заданный интервал: больше или равно одной, но меньше или равно трём лампочкам.
Мы можем рассмотреть все возможные комбинации количества перегоревших лампочек: 1 лампочка перегорела, 2 лампочки перегорели и 3 лампочки перегорели. Для каждой комбинации посчитаем вероятность.
1) Вероятность, что ровно 1 лампочка перегорела.
Это означает, что одна лампочка из трех должна перегореть, а две другие — не перегореть.
Вероятность перегорания одной лампочки: p
Вероятность не перегорания двух других лампочек: (1-p) * (1-p)
Таким образом, вероятность того, что ровно 1 лампочка перегорит: p * (1-p) * (1-p)
2) Вероятность, что ровно 2 лампочки перегорели.
Это означает, что две лампочки из трех должны перегореть, а одна лампочка — не перегореть.
Вероятность перегорания двух лампочек: p * p
Вероятность не перегорания третьей лампочки: 1-p
Таким образом, вероятность того, что ровно 2 лампочки перегорят: p * p * (1-p)
3) Вероятность, что ровно 3 лампочки перегорели.
Это означает, что все три лампочки должны перегореть.
Вероятность перегорания трех лампочек: p * p * p
Так как в условии задачи мы ищем вероятность, что количество перегоревших лампочек больше или равно 1, но меньше или равно 3, мы должны сложить вероятности всех трех случаев:
Вероятность = вероятность того, что ровно 1 лампочка перегорела + вероятность того, что ровно 2 лампочки перегорели + вероятность того, что ровно 3 лампочки перегорели.
Вероятность = p * (1-p) * (1-p) + p * p * (1-p) + p * p * p
Таким образом, мы получаем искомую вероятность.