1) Найти расстояние от конца перпендикуляра, восстановленного из центра вписанной окружности треугольника на плоскость

1) Первым шагом найдем площадь треугольника с помощью формулы Герона:
p = (a + b + c) / 2, где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр.
p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21.
Площадь треугольника S = √(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)) = √(21 * (21 — 13) * (21 — 14) * (21 — 15)) = √(21 * 8 * 7 * 6) = √(2^2 * 3 * 7 * 2^2 * 7 * 3) = 4 * √(2^2 * 7^2) = 4 * 2 * 7 = 56.

Затем найдем радиус вписанной окружности треугольника:
r = S / p = 56 / 21 = 8/3.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где один из катетов равен радиусу вписанной окружности треугольника, а гипотенуза равна длине перпендикуляра. Из теоремы Пифагора следует, что длина другого катета равна:

a^2 + b^2 = c^2,
где a — радиус вписанной окружности треугольника, b — длина перпендикуляра, c — гипотенуза.

Подставляя известные значения:
(r)^2 + (b)^2 = (c)^2,
(8/3)^2 + (b)^2 = 15^2,
64/9 + (b)^2 = 225,
(b)^2 = 225 — 64/9,
(b)^2 = 2025/9 — 64/9,
(b)^2 = 1961/9.

Таким образом, (b)^2 = 1961/9.

Итак, расстояние от конца перпендикуляра до плоскости треугольника равно √(1961/9).

2) Для решения данной задачи нам понадобится теорема Пифагора, а также понятие проекции.

Применим теорему Пифагора к полученной проекции точки М и сторонам ромба. Обозначим получившуюся прямоугольную треугольник как ABC, где AB — стороны ромба, BC — проекция точки M на сторону ромба, CA — расстояние от проекции точки M до стороны ромба.

Мы знаем, что сторона ромба равна 12, а острый угол имеет значение 30 градусов. Таким образом, мы можем найти длину одного из катетов прямоугольного треугольника ABC с помощью тригонометрических функций:
sin(30) = BC / AB,
0.5 = BC / 12,
BC = 0.5 * 12 = 6.

Затем, применяя теорему Пифагора, мы можем найти длину второго катета:
AC^2 + BC^2 = AB^2,
AC^2 + 6^2 = 12^2,
AC^2 + 36 = 144,
AC^2 = 144 — 36,
AC^2 = 108.

Итак, расстояние от проекции точки М до стороны ромба равно √108.