Если только одна диагональ диагоналя равнобедренной трапеции abcd перпендикулярна основаниям bc и ad, то окружность с диаметром ad пересекает боковую сторону cd в точке m, а окружность с диаметром cd пересекает основание ad в точке n. Точки p соединяются отрезками am и cn. а) Доказать, что в четырёхугольник abcp можно вписать окружность. б) Найти радиус этой окружности, если bc=7, ad=23. только б
Пошаговый ответ:
а) Чтобы доказать, что в четырёхугольник abcp можно вписать окружность, нам необходимо показать, что точка пересечения диагоналей (точка p) равноудалена от всех сторон четырёхугольника.
Рассмотрим треугольник amd. Так как основания bc и ad являются перпендикулярными диагоналями, то треугольник amd является прямоугольным. Кроме того, так как диагональ ad является равнобедренной, то треугольник amd является равнобедренным.
Далее рассмотрим треугольник cnd. Так как основания bc и ad являются перпендикулярными диагоналями, то треугольник cnd является прямоугольным. Кроме того, так как диагональ cd является равнобедренной, то треугольник cnd является равнобедренным.
Таким образом, мы имеем два равнобедренных прямоугольных треугольника amd и cnd. В этих треугольниках, высоты (отрезки, проведённые из вершины прямого угла к противолежащему основанию) проходят через точку пересечения диагоналей (точка p).
Теперь рассмотрим стороны четырёхугольника abcp. Отрезок am — это боковая сторона равнобедренной трапеции abcd, а отрезок cn — это также боковая сторона равнобедренной трапеции abcd. Отрезки ap и bp — это высоты треугольников amd и bnc соответственно. Из предыдущей части доказательства мы знаем, что эти высоты проходят через точку p, то есть точка p равноудалена от всех сторон четырёхугольника abcp.
Таким образом, мы доказали, что требуемая окружность может быть вписана в четырёхугольник abcp.
б) Чтобы найти радиус этой окружности, мы должны использовать формулу для радиуса окружности, вписанной в четырёхугольник.
Рассмотрим треугольник amd. У него есть основание ad, равная 23 согласно условию задачи. Треугольник amd является прямоугольным с прямым углом при вершине m. Из свойств прямоугольного треугольника, мы знаем, что половина произведения катетов равна площади треугольника:
S_amd = (1/2) * 7 * r,
где r — радиус искомой окружности в четырёхугольнике abcp.
Теперь рассмотрим треугольник cnd. У него есть основание cd, равная 7 согласно условию задачи. Треугольник cnd является прямоугольным с прямым углом при вершине n. Из свойств прямоугольного треугольника, мы знаем, что половина произведения катетов равна площади треугольника:
S_cnd = (1/2) * 23 * r.
Таким образом, мы имеем два равенства для площадей треугольников amd и cnd:
(1/2) * 7 * r = (1/2) * 23 * r.
Сокращаем коэффициенты и получаем:
7 * r = 23 * r.
Отсюда следует, что r = 7 * 23 / 23 = 7.
Таким образом, радиус окружности, вписанной в четырёхугольник abcp, равен 7.