Если включить только первый нагревательный элемент, самовар закипит через 20 минут, а если включить только второй – через 10 минут. Если нагревательные элементы будут включены последовательно, через какое время закипит наполовину заполненный самовар? Пренебрегая теплообменом с окружающей средой, считаем сопротивления элементов постоянными.
Пошаговый ответ:
Пусть весь процесс закипания самовара занимает время t. Тогда, если включить только первый нагревательный элемент, он будет работать весь отведенный промежуток времени, то есть 20 минут. За эти 20 минут он нагреет воду до определенной температуры.
Теперь рассмотрим, что произойдет, если включить только второй нагревательный элемент. По условию задачи, он закипит воду за 10 минут, что значит, что он нагревает воду в два раза быстрее, чем первый.
Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда оба нагревательных элемента включены последовательно. Первый нагревательный элемент будет работать весь отведенный промежуток времени t, а второй — половину этого времени, то есть t/2.
На самом деле, тепло, создаваемое первым нагревательным элементом, будет расходоваться на нагревание воды в течение всего времени. Но после включения второго элемента, первый будет передавать свое тепло воде только в течение времени t/2.
Значит, можно сделать вывод, что второй элемент нагревает воду в два раза быстрее, чем первый элемент. То есть, в начальный момент времени (20 минут) вода будет нагрета на втором нагревательном элементе в полтора раза больше, чем на первом.
То есть, в течение первых 20 минут вода нагревается на промежуток времени t/2. Далее, в течение следующих 10 минут, оставшийся от первого элемента объем воды будет нагреваться на промежуток времени t/4.
Затем, в течение последующих 5 минут, оставшийся от первого и второго элементов объем воды будет нагреваться на промежуток времени t/8.
Этот процесс можно продолжать дальше, получая все меньшие промежутки времени и уменьшая объем воды, который остался ненагретым.
Для определения времени, через которое весь объем воды будет нагрет наполовину, мы должны сложить все промежутки времени:
t/2 + t/4 + t/8 + …
Это ряд суммы бесконечно убывающих членов. Мы можем записать этот ряд в виде геометрической прогрессии:
t/2 * (1 + 1/2 + 1/4 + …)
Теперь нам необходимо найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = 1 + 1/2 + 1/4 + …
Мы знаем, что сумма геометрической прогрессии выражается формулой:
S = a / (1 — r)
где a — первый член прогрессии, r — знаменатель прогрессии (в данном случае 1/2).
Заменяя значения в формуле, получаем:
S = 1 / (1 — 1/2)
S = 1 / (1/2)
S = 2
Теперь мы можем найти время, через которое весь объем воды будет нагрет наполовину:
t/2 * 2 = t
Значит, время, через которое наполовину нагретый самовар закипит, равно начальному времени закипания — 20 минут.
Ответ: Наполовину заполненный самовар закипит через 20 минут.