Чему равен объём правильной треугольной пирамиды, если её высота равна 6, а боковое ребро наклонено к плоскости

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о треугольной пирамиде и применение тригонометрии.

В данной задаче у нас есть правильная треугольная пирамида, что означает, что её основание — правильный треугольник. Правильный треугольник имеет все стороны одинаковой длины, и все его углы равны 60 градусам. Поэтому, чтобы определить объём пирамиды, нам нужно найти площадь основания и умножить её на высоту пирамиды, а затем разделить на 3.

Для начала определим площадь основания пирамиды. Воспользуемся формулой площади правильного треугольника:
S = (a^2 * √3) / 4,
где S — площадь, a — длина стороны правильного треугольника.

Теперь найдём длину стороны правильного треугольника. Поскольку у нас есть угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания, то мы можем воспользоваться тригонометрической функцией синус.

Согласно определению синуса, sin(α) = противоположная сторона / гипотенуза.
Мы знаем, что гипотенузой является сторона правильного треугольника, а угол α равен 30 градусам. Таким образом, sin(30) = a / гипотенуза.

Так как у нас правильный треугольник, все стороны равны между собой. Пусть сторона треугольника равна b, тогда гипотенузой является b, а противоположная сторона a — b / 2 (по половинке стороны треугольника).

sin(30) = (b / 2) / b = 1/2.
Отсюда следует, что b / 2 = b * (1/2) = b/2.
Таким образом, длина стороны b/2.

Теперь мы можем выразить площадь основания пирамиды через её сторону b:
S = ((b/2)^2 * √3) / 4 = (b^2 * √3) / 16.

Теперь осталось только подставить найденное значение площади и высоты пирамиды в формулу для объёма:
V = (S * h) / 3 = (((b^2 * √3) / 16) * 6) / 3 = (b^2 * √3) / 8.

Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды с высотой 6 и боковым ребром, наклонённым к плоскости основания под углом 30 градусов, равен (b^2 * √3) / 8.