Какие из следующих утверждений верны, касательно треугольника ABC, в котором проведены высоты AF и CE, и точка O

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства треугольников и особенности треугольников, в которых проведены высоты.

1) Начнем с первого утверждения. Как мы знаем, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. В данном случае, треугольники EBC и FBA оба являются прямоугольными, так как точка O является их пересечением. Кроме того, угол при вершине B треугольника EBC равен углу при вершине A треугольника FBA, так как они соответственные углы. Это означает, что у треугольников EBC и FBA есть два одинаковых угла, следовательно, они подобны. Поэтому первое утверждение верно: △EBC подобен △FBA.

2) Теперь рассмотрим второе утверждение. Здесь также применимо свойство прямоугольных треугольников и их высот. Треугольники AFC и CEA оба являются прямоугольными, так как точка O является их пересечением. Угол при вершине C треугольника AFC равен углу при вершине E треугольника CEA, так как они соответственные углы. Это означает, что у треугольников AFC и CEA есть два одинаковых угла, следовательно, они подобны. Поэтому второе утверждение верно: △AFC подобен △CEA.

3) Перейдем к третьему утверждению. Здесь нет информации о прямых углах и высотах, поэтому мы не можем утверждать, что треугольники ABC и AOC подобны. Поэтому третье утверждение неверно: △ABC не обязательно подобен △AOC.

4) Осталось рассмотреть четвертое утверждение. В нем говорится о треугольниках AEO и CFO. Мы не знаем никаких свойств этих треугольников, поэтому ничего не можем сказать о их подобии. Значит, четвертое утверждение не может быть утверждено.

Таким образом, верными утверждениями являются только первое и второе: △EBC подобен △FBA и △AFC подобен △CEA.