Яка площа трикутника, в якого дві висоти мають довжини 12 см і 13 см і перетинаються під кутом 30 градусів?
Пошаговый ответ:
Формула вычисления площади треугольника:
S = (a * b * sin(C)) / 2,
где S — площадь треугольника, а, b — длины двух сторон треугольника, C — угол между этими сторонами.
В нашем случае, мы знаем длины двух высот треугольника — 12 см и 13 см. Одна из сторон треугольника — это одна из высот (назовем ее a), а другая сторона — это другая высота (назовем ее b). У нас также есть информация о том, что высоты пересекаются под углом 30 градусов (это наш угол C).
Давайте найдем длину третьей стороны треугольника (c), используя теорему Пифагора:
c² = a² + b²,
где c — третья сторона треугольника.
Так как одна из сторон треугольника — это одна из высот, то длина этой стороны равна 12 см. Подставим это значение в формулу:
c² = 12² + b²,
c² = 144 + b².
Также, так как мы знаем, что угол между высотами равен 30 градусам, у нас есть правильный треугольник со сторонами a (12 см), b (13 см) и c. Зная это, мы можем найти третью сторону, используя теорему о правильном треугольнике:
c = a * √3,
где √3 — квадратный корень из 3.
Подставим значение a (12 см) в формулу:
c = 12 * √3,
c ≈ 20.7846.
Теперь, когда у нас есть значения всех трех сторон треугольника (a = 12 см, b = 13 см, c ≈ 20.7846), мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:
S = (a * b * sin(C)) / 2.
Подставим значения:
S = (12 * 13 * sin(30°)) / 2,
S = (156 * 0.5) / 2,
S = 78 / 2,
S = 39.
Площадь треугольника равна 39 квадратных сантиметров.