Для заданного выражения (cos5a+cosa)/-2sin3a=-sin2a, требуется доказать его тождественную верность.
Пошаговый ответ:
Давайте рассмотрим левую часть уравнения: (cos5a+cosa)/-2sin3a
Чтобы упростить это выражение, мы можем использовать тригонометрические тождества. Напомним некоторые из них:
1. cos(a+b) = cos(a)cos(b) — sin(a)sin(b)
2. sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
3. cos^2(a) + sin^2(a) = 1
Применим эти тождества к нашему выражению:
(cos5a + cosa)/-2sin3a = (cos(4a+a) + cosa)/-2sin3a
= (cos(4a)cos(a) — sin(4a)sin(a) + cos(a))/-2sin3a
= (cos(4a)cos(a) + cos(a) — sin(4a)sin(a))/-2sin3a
Теперь мы можем разложить выражение в сумму и разность:
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin(a)sin(4a)/-2sin3a
Мы можем также использовать тригонометрическое тождество для sin(4a):
sin(4a) = 2sin(2a)cos(2a)
Теперь подставим это обратно в наше выражение:
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin(a)(2sin(2a)cos(2a))/-2sin3a
Теперь обратимся к тождеству sin(2a):
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
Подставим его в выражение:
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin(a)(2(2sin(a)cos(a))cos(2a))/-2sin3a
Упростим это выражение:
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin(a)(4sin(a)cos(a)cos(2a))/-2sin3a
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin(a)(2sin^2(a)cos(2a))/-2sin3a
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin^2(a)cos(2a)/-sin3a
Применим еще одно тригонометрическое тождество: cos(2a) = 1 — 2sin^2(a)
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin^2(a)(1 — 2sin^2(a))/-sin3a
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin^2(a) + 2sin^4(a))/-sin3a
Теперь упростим последний член:
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin^2(a) + 2sin^4(a))/-sin3a
= cos(a)(cos(4a) + 1) — sin^2(a) — 2sin^4(a))/-sin3a
Теперь заметим, что cos(4a) — sin^2(a) = cos^2(a) — sin^2(a) = cos(2a), используя тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1.
= cos(a)(cos(2a) + 1) — 2sin^4(a))/-sin3a
= cos(a)cos(2a) + cos(a) — 2sin^4(a))/-sin3a
Используя тождество cos(a) = 1/sin(a), мы можем переписать это выражение:
= cos(2a)/sin(a) + 1 — 2sin^4(a))/-sin3a
= (cos(2a) — 2sin^4(a))/sin(a) — 1/-sin^3(a)
Теперь давайте рассмотрим правую часть уравнения: -sin2a.
Мы можем использовать тригонометрическое тождество: sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
= -2sin(a)cos(a)
Теперь сравним левую и правую части уравнения:
(cos(2a) — 2sin^4(a))/sin(a) — 1/-sin^3(a) = -2sin(a)cos(a)
Мы можем упростить это выражение, умножив обе стороны на (-sin(a))sin^3(a):
(cos(2a) — 2sin^4(a))(sin^3(a))/sin(a) — 1 = -2sin(a)cos(a)(-sin(a))sin^3(a)
= (cos(2a)sin^3(a) — 2sin^7(a))/sin^2(a) — sin^3(a) = 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a)
Умножим обе стороны на sin^2(a) и раскроем скобки:
cos(2a)sin^5(a) — 2sin^7(a) — sin^2(a) = 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a)
Сгруппируем подобные члены:
cos(2a)sin^5(a) — 2sin^7(a) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0
Теперь, заметим, что cos(2a)sin^5(a) — 2sin^7(a) можно разложить:
cos(2a)sin^5(a) — 2sin^7(a) = cos(2a)(sin^4(a)(1 — sin^2(a)))
Также, мы можем использовать тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:
cos(2a)sin^5(a) — 2sin^7(a) = cos(2a)(sin^4(a)cos^2(a))
Теперь вставим это обратно в наше равенство:
cos(2a)(sin^4(a)cos^2(a)) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0
Разложим sin^4(a)cos^2(a) и умножим каждый член на (-1):
cos(2a)(sin^4(a)cos^2(a)) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0
cos(2a)(sin^2(a)(1 — sin^2(a))) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0
Используем тождество sin^2(a)(1 — sin^2(a)) = sin^2(a)cos^2(a):
cos(2a)(sin^2(a)cos^2(a)) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0
cos(2a)sin^2(a)cos^2(a) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0
Теперь заметим, что sin^2(a) можно разложить:
cos(2a)sin^2(a)cos^2(a) — sin^2(a) — 2sin^4(a)cos(a)sin^3(a) = 0
sin^2(a)(cos(2a)cos^2(a) — 1 — 2sin^2(a)cos(a)sin(a)) = 0
Мы можем сократить sin^2(a):
cos(2a)cos^2(a) — 1 — 2sin^2(a)cos(a)sin(a) = 0
А теперь заметим, что cos(2a)cos^2(a) = cos^2(a) — sin^2(a) = cos^2(a) — (1 — cos^2(a)) = 2cos^2(a) — 1:
(2cos^2(a) — 1) — 1 — 2sin^2(a)cos(a)sin(a) = 0
Упростим этот выражение:
2cos^2(a) — 2 — 2sin^2(a)cos(a)sin(a) = 0
2(cos^2(a) — 1 — sin^2(a)cos(a)sin(a)) = 0
Также заметим, что sin^2(a)cos(a)sin(a) = sin(a)cos^2(a)sin(a) = sin^2(a)cos^2(a):
2(cos^2(a) — 1 — sin^2(a)cos(a)sin(a)) = 0
2(cos^2(a) — 1 — sin^2(a)cos^2(a)) = 0
Теперь раскроем скобки:
2cos^2(a) — 2 — 2sin^2(a)cos^2(a) = 0
2cos^2(a) — 2sin^2(a)cos^2(a) — 2 = 0
Мы можем сократить на 2:
cos^2(a) — sin^2(a)cos^2(a) — 1 = 0
cos^2(a)(1 — sin^2(a)) — 1 = 0
Мы можем использовать тождество 1 — sin^2(a) = cos^2(a):
cos^2(a)(cos^2(a)) — 1 = 0
cos^4(a) — 1 = 0
Теперь, как мы знаем, cos^2(a) — 1 = -sin^2(a), используя тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:
cos^4(a) — 1 = 0
(cos^2(a) — 1)(cos^2(a) + 1) = 0
(-sin^2(a))(cos^2(a) + 1) = 0
Как мы видим, это верно только для значения cos^2(a) + 1 = 0, что не является возможным, потому что cos^2(a) всегда больше или равно нулю.
Таким образом, мы убедились, что значения выражений в левой и правой частях уравнения не равны, что означает, что данное выражение не является тождественно верным.