Какова масса вращающегося шарика при условии, что поверхность, к которой он подвешен, начнет двигаться вертикально вверх с ускорением 2 м/с2? При этом шарик подвешен на нити и вращается вокруг другого неподвижного заряженного шарика со скоростью 2 м/с по окружности радиуса 50 см. Угол между нитью и вертикалью составляет 45°, а заряд каждого шарика равен 2. Как найти решение данной задачи?
Пошаговый ответ:
1. Запишем второй закон Ньютона для вращающегося шарика по направлению нити:
T — mgcosθ = ma,
где T — натяжение нити, m — масса шарика, g — ускорение свободного падения, θ — угол между нитью и вертикалью, а — ускорение шарика.
2. Запишем второй закон Ньютона для вертикального движения поверхности по направлению вверх:
N — mg = ma’,
где N — нормальная реакция поверхности, a’ — ускорение поверхности.
3. Найдем ускорение a’ поверхности, используя уравнение движения:
a’ = 2 м/с^2.
4. Подставим найденное значение a’ в уравнение движения поверхности и найдем нормальную реакцию N:
N — mg = ma’,
N — mg = m * 2 м/с^2,
N = mg + 2m.
5. Запишем закон Лоренца для вращающегося шарика:
Fмаг = qvB,
где Fмаг — магнитная сила, q — заряд шарика, v — скорость шарика по окружности, B — магнитная индукция.
6. Подставим известные значения в закон Лоренца и найдем магнитную силу Fмаг:
Fмаг = 2 * 2 * 0,5 Тл,
Fмаг = 2 Н.
7. Запишем уравнение движения для вращающегося шарика по направлению радиуса:
Fсилы = ma,
где Fсилы — сумма сил на шарике, m — масса шарика, a — ускорение шарика.
8. Разобьем сумму сил на составляющие по направлениям: вертикальное и горизонтальное.
Вертикальная составляющая:
N — mgcosθ = ma₁,
где a₁ — ускорение шарика по вертикали.
Горизонтальная составляющая:
Fмаг — mgsinθ = ma₂,
где a₂ — ускорение шарика по горизонтали.
9. Подставим найденные значения N и Fмаг и разделим уравнения по направлениям:
(mg + 2m) — mgcosθ = ma₁,
2 — mgsinθ = ma₂.
10. Разрешим полученные уравнения относительно ускорений a₁ и a₂:
mg(1 — cosθ) = ma₁,
2 — mgsinθ = ma₂.
11. Разделим уравнения на м:
g(1 — cosθ) = a₁,
2/m — gsinθ = a₂.
12. Запишем уравнение, связывающее ускорение по горизонтали a₂ и ускорение по окружности a:
a = R * α,
где R — радиус окружности, α — угловое ускорение.
13. Запишем уравнение, связывающее угловое ускорение α и угловую скорость ω:
α = dω/dt,
где dω — изменение угловой скорости, dt — изменение времени.
14. Заметим, что ω = v/R, где v — скорость шарика по окружности.
15. Запишем уравнение, связывающее изменение угловой скорости dω и скорость изменения времени dt:
α = dω/dt = dv/dt * (1/R) = a/R.
16. Подставим полученное значение а в уравнение, связывающее ускорение по окружности и угловое ускорение:
a/R = R * α,
a = R² * α.
17. Подставим полученное значение a в уравнения для ускорений a₁ и a₂:
g(1 — cosθ) = a₁,
2/m — gsinθ = a₂.
Заменим a₁ и a₂ на полученные значения:
g(1 — cosθ) = R² * α,
2/m — gsinθ = R² * α.
18. Сложим два полученных уравнения:
g(1 — cosθ) + 2/m — gsinθ = R² * α + R² * α,
g — gcosθ — gsinθ + 2/m = 2R² * α,
g — g cosθ — g sinθ + 2/m = 2(v²/R²),
g(1 — cosθ — sinθ) + 2/m = 2(v²/R²).
19. Заменим v на 2 м/с и R на 50 см:
g(1 — cosθ — sinθ) + 2/m = 2(2²)/(0,5²),
g(1 — cosθ — sinθ) + 2/m = 16/0,25,
g(1 — cosθ — sinθ) + 2/m = 64.
20. Разрешим полученное уравнение относительно m:
g(1 — cosθ — sinθ) + 2 = 64m,
m = (g(1 — cosθ — sinθ) + 2) / 64.
21. Подставим известные значения g = 9,8 м/с² и θ = 45°:
m = (9,8(1 — cos45° — sin45°) + 2) / 64.
22. Вычислим значение m:
m = (9,8(1 — √2/2 — √2/2) + 2) / 64,
m = (9,8(1 — √2 — √2) + 2) / 64,
m = (9,8(1 — 2√2) + 2) / 64,
m = (9,8 — 19,6√2 + 2) / 64,
m = (11,8 — 19,6√2) / 64.
Таким образом, масса вращающегося шарика составляет (11,8 — 19,6√2) / 64 кг.