Какое целое положительное число X нужно разделить на шестнадцатеричное число 0,E38_{16}, чтобы при сложении результатов иметь число, шестнадцатеричная запись которого содержит только цифры F после запятой? Найдите X и запишите его в ответ в десятичной системе счисления.
Пошаговый ответ:
Сначала переведем число 0,E38_{16} в десятичную систему счисления:
0,E38_{16} = 0 × 16^0 + E × 16^-1 + 3 × 16^-2 + 8 × 16^-3
= 0 × 1 + 14 × 1/16 + 3 × 1/16^2 + 8 × 1/16^3
= 14/16 + 3/16^2 + 8/16^3
= 14/16 + 3/256 + 8/4096
= 0,87841796875
Теперь, чтобы при сложении результатов получить число, шестнадцатеричная запись которого содержит только цифры F после запятой, нужно найти число X такое, чтобы:
X + 0,87841796875 = F.FFFFFF…
Для начала, заметим, что после запятой в шестнадцатеричной записи числа F.FFFFFF… все цифры равны F, что соответствует числу:
F.FFFFFF…_{16} = F × 16^0 + F × 16^-1 + F × 16^-2 + …
= F × (1 + 1/16 + 1/16^2 + …)
= F × (1 + 1/16 + 1/256 + …)
= F × (16/15)
= (15/15) × (16/15)
= 16/15
Таким образом, уравнение X + 0,87841796875 = 16/15 должно быть выполнено.
Выразим X из этого уравнения:
X = 16/15 — 0,87841796875
= 16/15 — 0,87841796875 × 15/15
= (16 — 13.17626953125) / 15
= 16/15 — 13.17626953125/15
= (16 — 13.17626953125) / 15
= 2.82373046875 / 15
≈ 0.18824869792
Значит, искомое число X в десятичной системе счисления равно примерно 0.18824869792.