Сколько различных 7-буквенных кодов может составить Вася, используя буквы к, у, п, ч, и, х, а, с условиями, что каждая буква должна быть использована ровно 1 раз, код не может начинаться с буквы ч и не может содержать сочетания иау?
Пошаговый ответ:
Первым шагом найдем общее количество возможных кодов. У нас есть 7 различных букв, которые могут находиться на 7 различных позициях. Таким образом, общее количество кодов равно 7!.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
Однако, нам нужно учесть условия задачи.
1. Условие «каждая буква должна быть использована ровно 1 раз». Это значит, что мы не можем повторять одну и ту же букву в коде.
У нас есть 7 различных букв, и мы можем выбрать из них только 1 для первой позиции. Затем, у нас остается 6 букв для выбора на вторую позицию, 5 для третьей и так далее.
Таким образом, количество комбинаций, учитывающих это условие, будет равно:
7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
2. Условие «код не может начинаться с буквы ч».
Мы можем переписать это условие как «код может начинаться с любой из 6 букв (к, у, п, и, х, а), но не может начинаться с буквы ч».
Таким образом, для первой позиции у нас есть только 6 вариантов.
Затем, для второй позиции у нас остается 6 букв для выбора, для третьей — 5, для четвертой — 4 и так далее.
Таким образом, количество комбинаций, учитывающих это условие, будет равно:
6 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 4320
3. Условие «код не может содержать сочетания иау».
Для решения этого условия используется принцип включения-исключения.
Всего у нас есть 7 способов выбрать первую букву (к, у, п, ч, и, х, а) и 6 способов выбрать вторую. Таким образом, общее количество возможных кодов без ограничений равно 7 * 6 = 42.
Теперь рассмотрим количество комбинаций, в которых содержится сочетание иау. Заметим, что есть только одно сочетание из этих трех букв, которое может находиться на любой позиции — иау.
Поэтому, для каждого кода, включающего это сочетание, остается только 4 позиции, на которые можно поставить остальные 4 буквы (к, п, ч, х, а). Таким образом, количество таких кодов будет равно 4!.
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
Таким образом, количество кодов, содержащих сочетание иау, равно 24.
Теперь используем принцип включения-исключения:
Общее количество кодов без ограничений — количество кодов, содержащих сочетание иау = 42 — 24 = 18.
Таким образом, количество кодов, удовлетворяющих всем условиям, будет равно 18 * 6 = 108.
Ответ: Вася может составить 108 различных 7-буквенных кодов, удовлетворяющих условиям задачи.