Сколько различных башен может Вася построить, используя кубики трех цветов, если каждый цвет кубиков ограничен до 7

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разобрать каждый возможный случай отдельно.

Первый случай: Вася использует один цвет кубиков.
У Васи есть три цвета кубиков. Он может выбрать один из трех цветов для каждого кубика, и у него есть 7 кубиков каждого цвета. Таким образом, для каждого цвета он может выбрать один из 7 кубиков, в итоге будет иметь 7^1 = 7 комбинаций башен.

Второй случай: Вася использует два разных цвета кубиков.
У Васи есть три цвета кубиков, и он может выбрать два из них. Без ограничений он может выбрать 7 кубиков первого цвета и 7 кубиков второго цвета. Таким образом, у него есть 7*7 = 49 возможных комбинаций башен.

Однако, в этом случае у нас есть возможность соединить два цвета, например, синий и красный, чтобы создать третий цвет. Тогда у Васи будет только одна комбинация башен с таким третьим цветом. Таким образом, для каждой пары кубиков разных цветов, у Васи есть еще одна комбинация башен. У нас есть три цвета, поэтому у нас будет 3 комбинации включая третий цвет.

Таким образом, общее количество комбинаций башен во втором случае будет равно 49 + 3 = 52.

Третий случай: Вася использует три разных цвета кубиков.
У Васи есть три цвета кубиков, и он может выбрать все три. Без ограничений он может выбрать 7 кубиков каждого цвета. Таким образом, у него есть 7*7*7 = 343 возможных комбинаций башен.

Однако, в этом случае у нас есть возможность соединить все три цвета, чтобы создать четвертый цвет. Тогда у Васи будет только одна комбинация башен с таким четвертым цветом. Таким образом, для каждой тройки кубиков разных цветов, у Васи есть еще одна комбинация башен. У нас есть только одна тройка цветов, поэтому у нас будет 1 комбинация включая четвертый цвет.

Таким образом, общее количество комбинаций башен в третьем случае будет равно 343 + 1 = 344.

Итак, общее количество различных башен, которые может построить Вася, используя кубики трех цветов с ограничением до 7 единиц каждого цвета, будет равно сумме количества башен в каждом случае: 7 + 52 + 344 = 403.