Какова сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии (аn), если a4=120 и a15=70?
Пошаговый ответ:
an = a1 + (n-1)d, где
an — n-й член арифметической прогрессии
a1 — первый член арифметической прогрессии
d — разность (шаг) арифметической прогрессии
n — номер члена арифметической прогрессии, который мы хотим найти.
Используя данную формулу, мы можем написать уравнения для a4 и a15:
a4 = a1 + (4-1)d
a15 = a1 + (15-1)d
У нас два уравнения с двумя неизвестными (a1 и d). Если мы выразим a1 через d в обоих уравнениях, мы сможем решить систему для определения a1 и d.
Выразим a1 через d в первом уравнении:
a1 = a4 — (4-1)d = a4 — 3d
Подставим это выражение для a1 во второе уравнение:
a15 = (a4 — 3d) + (15-1)d
70 = a4 — 3d + 14d
70 = a4 + 11d
Теперь мы имеем одно уравнение с одной неизвестной (d). Решим уравнение для нахождения значения d:
70 = a4 + 11d
70 — a4 = 11d
11d = 70 — a4
d = (70 — a4)/11
Теперь, когда мы знаем значение d, мы можем найти значение a1:
a1 = a4 — 3d
a1 = a4 — 3 * ((70 — a4)/11)
a1 = a4 — (210 — 3a4)/11
a1 = (11a4 — (210 — 3a4))/11
a1 = (14a4 — 210)/11
Таким образом, мы получили значения a1 и d. Теперь мы можем найти сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, используя формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:
Sn = (n/2)(a1 + an), где
Sn — сумма первых n членов арифметической прогрессии
n — количество членов, для которых мы хотим найти сумму.
Подставим значения a1 и an в эту формулу (где n = 18):
S18 = (18/2)((14a4 — 210)/11 + a18)
Теперь у нас есть формула для нахождения суммы первых восемнадцати членов арифметической прогрессии. Мы можем подставить значения a4 = 120 и a15 = 70, чтобы найти искомое значение.