Какова величина оптимального выпуска продукции и количество работников, при котором достигается производственный оптимум, исходя из данной производственной функции q = 72l + 15l^2 — l^3?
Пошаговый ответ:
1. Для начала, нужно найти производную функции q по количеству работников l. Выглядит она так: q’ = 72 + 30l — 3 l^2.
2. После этого уравняем производную функции q по количеству работников l равной нулю и найдем значение l, при котором производная равна нулю: 72 + 30l — 3 l^2 = 0.
3. Решим данное квадратное уравнение q’ = 0 относительно l. Вначале, перенесем все выражения в одну сторону и получим -3 l^2 + 30l + 72 = 0.
4. Затем, решим это уравнение с помощью метода дискриминанта. Выразим его так: l = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / 2a.
a = -3, b = 30, c = 72.
l = (-30 ± √(30^2 — 4*(-3)*72)) / 2*(-3).
l = (-30 ± √(900 + 864)) / -6.
l = (-30 ± √(1764)) / -6.
l = (-30 ± 42) / -6.
5. Теперь, найдем два значения l: l1 = (-30 + 42) / -6 = 2 и l2 = (-30 — 42) / -6 = 12.
6. Следующий шаг — проверить значения q» (вторая производная функции q) для этих двух значений l, чтобы определить, являются ли они в точности максимумами или минимумами.
7. Найдем вторую производную функции q по l: q» = 30 — 6l.
8. Подставим значения l = 2 и l = 12 в выражение q» и получим: q»(l1) = 30 — 6 * 2 = 30 — 12 = 18 и q»(l2) = 30 — 6 * 12 = 30 — 72 = -42.
9. Если q» > 0, то это означает, что у нас есть минимум, а если q» < 0, то это означает, что у нас есть максимум.
10. Для нашей задачи мы видим, что q''(l1) = 18 и q''(l2) = -42. Таким образом, значение l = 2 дает нам локальный максимум, а l = 12 дает нам локальный минимум.
11. Поскольку нас интересует только максимум, то величина оптимального выпуска продукции и количество работников, при котором достигается производственный оптимум, будет равна l = 2.
Таким образом, объем продукции, достигающий производственного оптимума, составляет 4 единицы (q = 72 * 2 + 15 * (2^2) — (2^3) = 144 + 60 — 8 = 196).
Количество работников, при котором достигается производственный оптимум, составляет 2 человека (l = 2).